Je ne comprendrai jamais

[u/Oportbis]

[u/Bacrima_]

C'est pourtant simple, il suffit de modéliser le pain et le grille-pain par un système d'équations différentielles et de le résoudre.

(Hypothèse clé : toute la puissance du grille-pain P est absorbée par le pain (pas de pertes))

=== ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ===

Bilan d'énergie à la surface

dT_s/dt = ( αP # apport direct des résistances - (T_s - T_c)/R_cond # conduction vers le cœur - hA(T_s - T_a) # convection vers l'air - m_dot_evapL_v # chaleur latente d'évaporation ) / C_s

Bilan d'énergie au cœur

dT_c/dt = ( (T_s - T_c)/R_cond ) / C_c

Bilan de masse d'eau (teneur en eau X = kg eau / kg matière sèche)

dX/dt = - m_dot_evap / m_d

Loi de transfert de masse (limitation par l'écart d'humidité air/surface)

m_dot_evap = h_m * A * max( Y_s - Y_a , 0 )

=== RELATIONS AUXILIAIRES ===

Humidité massique de l'air ambiant (fonction de l'humidité relative φ_a et T_a)

Y_a = 0.62198 * ( φ_a * p_sat(T_a) ) / ( p - φ_a * p_sat(T_a) )

Pression partielle de vapeur en surface (activité de l'eau a_w(X) ≤ 1)

p_v,s = a_w(X) * p_sat(T_s)

Humidité massique « au contact » de la surface

Y_s = 0.62198 * p_v,s / ( p - p_v,s )

Résistance de conduction cœur/surface (approx. 1D)

R_cond = L / ( k * A )

Capacités thermiques effectives des deux nœuds (dépendent de X)

C_s = m_s * ( c_p,d + X * c_p,w )
C_c = m_c * ( c_p,d + X * c_p,w )

Partage de masse entre surface et cœur (choix géométrique simple)

m_s + m_c = m_d * (1 + X)

ex. m_s = β * m_d * (1 + X) ; m_c = (1 - β) * m_d * (1 + X) avec 0 < β < 1

=== CONDITIONS INITIALES ET HORIZON ===

t ∈ [0, t_fin]

T_s(0) = T_c(0) = T_pain,0

X(0) = X_0

=== SIGNIFICATION DES TERMES ET PARAMÈTRES ===

États :

T_s(t) : température de surface du pain [K]

T_c(t) : température au cœur du pain [K]

X(t) : teneur en eau (kg d’eau / kg de matière sèche) [-]

Paramètres / entrées :

P : puissance du grille-pain [W] (entièrement absorbée)

α : fraction d’absorption à la surface [-] (souvent α = 1)

L : épaisseur de la tranche [m]

A : surface exposée [m²]

T_a : température de l’air dans le grille-pain [K]

φ_a : humidité relative de l’air

p : pression atmosphérique [Pa]

m_d : masse de matière sèche du pain [kg]

c_p,d : capacité thermique massique de la matière sèche [J kg⁻¹ K⁻¹]

c_p,w : capacité thermique massique de l’eau [J kg⁻¹ K⁻¹]

k : conductivité thermique effective du pain [W m⁻¹ K⁻¹]

h : coefficient de convection air/surface [W m⁻² K⁻¹]

h_m : coefficient de transfert de masse (vapeur) [kg m⁻² s⁻¹]

L_v : chaleur latente d’évaporation de l’eau [J kg⁻¹]

p_sat(T): pression de vapeur saturante de l’eau à la température T [Pa]

a_w(X) : activité de l’eau en surface (fonction de X, 0 < a_w ≤ 1)

β : fraction de masse attribuée à la « couche surface » [-]

Grandeurs dérivées :

R_cond : résistance de conduction cœur/surface [K W⁻¹]

C_s,C_c : capacités thermiques effectives des nœuds [J K⁻¹]

m_dot_evap : débit d’évaporation (positif si évaporation) [kg s⁻¹]

Y_a,Y_s : humidité massique de l’air (ambiant / au contact) [kg_vapeur / kg_air_sec]

Quelques remarques :

- L’expression R_cond = L/(kA) suppose une conduction 1D simplifiée ; selon la discrétisation, on peut utiliser L/2.

- Tout le chauffage radiatif/ohmique est capté via P (hypothèse « pas de pertes »).

[u/Cappyburner → u/Bacrima_]

D'un côté je veux féliciter l'effort et d'un autre côté j'aimerais que tu trouves un travail, dans ton intérêt

[u/Bacrima_ → u/Cappyburner]

C'est bientôt la rentrée, je n'aurai plus autant de temps libre 😅